Характеристика ошибок учащихся при выполнении устных вычислений и методические приёмы предупреждения

Программой по математике для I-IV предусмотрено освоение детьми вычислительных умений и навыков. Однако проблема формирования прочных вычислительных навыков не теряет своей актуальности по причине достаточного количества ошибок учащихся. Наблюдения и анализ детских работ убеждают, что учащиеся допускают много ошибок в вычислениях, причем эти ошибки носят как общий, так и индивидуальный характер.

Одним из путей выявления причин пробелов в знаниях и навыках у младших школьников является непрерывный контроль за уровнем их усвоения. Чтобы помочь ребёнку справиться с ошибками, важно вовремя диагностировать ситуацию и получить полное представление об особенностях положения дел у каждого конкретного учащегося [54].

Вычислительная деятельность представляет собой интеграцию внимания, памяти, мышления. Причём в мышлении можно выделить две стороны: содержательную и операционную. Содержательная – это наличие, запас, фонд научных знаний: математические понятия, термины, определения, законы, свойства арифметических действий, обобщённые способы вычислений или алгоритмы. Операционная сторона мышления проявляется в умении распоряжаться, оперировать теми знаниями, которые имеются в фонде: перестраивать их, организовывать в систему, использовать в относительно новых условиях, расширять исключительно логическим путём. В каждом из этих познавательных процессов могут возникнуть дефекты, неполадки и сбои, что и влечёт за собой появление ошибок в вычислениях. Исходя из этого, можно выделить четыре группы ошибок [39] при выполнении арифметических действий:

- ошибки внимания;

- ошибки памяти;

- научные, или теоретические ошибки (содержательная сторона мышления);

- мыслительные ошибки (операционная сторона мышления).

Ошибки внимания у младших школьников обусловлены узостью его объёма, слабой избирательностью, лёгкостью переключения. Наиболее типичными являются:

а) неосознанная подмена арифметического действия:

5 + 1 = 5, 75 + 9 = 66, 86 – 20 = 46;

б) неосознанная подмена числовых данных (особенно часто это случается с «шестёркой-акробаткой»):

11 – 2 = 6, 30 + 6 = 39, 92 – 30 = 32, 83 – 27 = 59;

в) пропуск отдельных операций в алгоритмах вычислений:

34 + 17 = 41, 86 – 20 = 60, 48 – 3 = 5;

г) чрезмерная «забота» в «небезопасных» местах алгоритмов:

36 + 44 = 90, 92 – 30 = 52;

д) разные комбинации перечисленных ошибок:

23 · 4 = 89, 72 : 6 = 16.

Для предотвращения ошибок внимания эффективным оказывается следующие методические приёмы: чтение математических выражений, их классификация по арифметическому действию, определение границ (прикидка) ответа.

Ошибки памяти проявляются в искажении информации, которая в ней сохраняется. При вычислениях наиболее типичными являются:

а) припоминание результатов из соседних таблиц:

8 + 8 = 16, 9 + 9 = 16;

б) называние чисел-соседей для табличных результатов:

3 + 5 = 7, 2 + 7 = 10, 7 + 5 = 13, 12 – 5 = 8, 10 – 8 = 3, откуда и 50 – 3 = 48, 80 – 47 = 32;

Правильная организация учителем работы по осмысленному запоминанию и продолжительному сохранению в памяти таблиц и правил, их своевременное повторение и использование в новых и новых условиях, то есть включение этих знаний в систему, постепенно снижает процент ошибок.

И всё-таки, ошибки внимания и памяти неизбежны: они обусловлены как возрастными особенностями младших школьников, так и общими особенностями человеческой психики, для которой расслабление и забывчивость - природные механизмы самозащиты и самосохранения. Однако эти ошибки не обладают признаками постоянства и переноса: в одних условиях ученик их допускает, а в других – нет. Что же касается мыслительных ошибок, то появившись однажды, они продолжают упорно повторяться и в дальнейшем. Поэтому важнейшая задача учителя – исключить саму возможность возникновения научных (теоретических) и мыслительных ошибок.

Естественно, учителя достаточно успешно реализуют принцип научности в обучении: преподносят детям точные, дедуктивно обоснованные в математической науке знания, используют опробованный методический аппарат при ознакомлении с теоретическими вопросами, организации их первоначального закрепления и последующего применения в практике вычислений. В результате научные ошибки встречаются только в работах учащихся с пониженной способностью к обучению, для которых характерны чрезвычайная поверхностность функций ума, его инертность и неустойчивость. Для таких учеников характерны ошибки: 25 + 40 = 50, 30 - 7 = 27, 83 – 80 = 30, 69 – 60 = 69.

По отношению к таким учащимся индивидуализация обучения – единственный правильный путь для предупреждения или ликвидации вычислительных ошибок.

В отличие от научных мыслительные ошибки являются массовыми, о чём свидетельствует анализ письменных работ учащихся: допускают такие ошибки дети не только с пониженной и средней, но и с высокой способностью к обучению. Причинами появления ошибок чаще всего являются:

а) неправильный перенос усвоенных способов вычислений в новые условия:

90 – 72 = 22, 80 – 25 = 65 по аналогии с 92 – 70, 85 – 20;

б) поверхностный анализ условия примера и неправильное использование алгоритмов:

6 + 34 = 64, 46 + 30 = 67, 75 – 30 = 54;

в) отступление от алгоритмических предписаний:

54 + 20 = 70, 92 – 30 = 60;

г) пассивность ума, когда дети избегают интеллектуального напряжения и под влиянием каких-нибудь случайных признаков действуют так, как им удобно;

д) неустойчивость ума и слабое понимание хода вычислений, когда дети действуют обычным способом, без анализа тех признаков, на которые они опираются.

Предотвращению мыслительных ошибок в первую очередь содействует внешняя организация усвоения вычислительных приёмов, потому что в формировании у младшего школьника нового способа действия особенное место занимает его ориентировочная основа. Функции системы ориентиров и указаний успешно выполняют зрительно воспринимаемые опорные схемы или отдельные опорные сигналы. Зафиксированная с их помощью последовательность операций, которые составляют приёмы вычислений, помогает учащемуся сконцентрироваться и действовать планомерно, а словесное изображение каждого шага, который при этом выполняется, формирует внутренний план действий.

М. А. Бантова [3] выделяет следующие ошибки при выполнении сложения и вычитания чисел в концентре «Сотня»:

1. Смешение приемов вычитания, основанных на свойствах вычитания суммы из числа и числа из суммы. Например:

50 – 36 = 50 – (30 + 6) = (50 – 30) + 6 = 26

56 – 30 = (50 + 6) – 30 = (50 – 30) – 6 = 14

Чтобы предупредить появление подобных ошибок, надо проводить специальную работу по сравнению смешиваемых приемов, выявляя при этом существенное различие. Ученикам предлагаются пары примеров, аналогичные приведенным, решая которые, они сравнивают каждый следующий шаг:

80 – 27 = 80 – (20 + 7)

87 – 20 = (80 + 7) – 20

В первом примере надо вычитать из 80 сумму чисел 20 и 7, а во втором – вычитать одно число 20 из суммы чисел 80 и 7.

80 – 27 = 80 – (20 + 7) = (80 – 20) – 7 = 53

87 – 20 = (80 + 7) – 20 = (80 – 20) + 7 = 67

В первом примере вычли 20 и вычли 7, а во втором вычли только 20 из 80 и к результату прибавили 7.

Целесообразно провести также сравнение приемов для случаев вида 60 – 28 и 68 – 20, 14 – 6 и 16 – 4 и т. п.

2. Выполнение сложения и вычитания над числами разных разрядов как над числами одного разряда.

Например, ученик складывает число десятков с числом единиц 54 + 2 = 74, вычитает из числа единиц число десятков 57 – 40 = 53 и т. п.

Для предупреждения названных ошибок полезно обсудить неверные решения примеров. Так, учитель предлагает найти среди данных примеров те, при решении которых допущена ошибка: 42 + 3 = 45; 25 + 4 = 65; 54 + 30 = 57. Затем выясняется, какая допущена ошибка: во втором примере 4 единицы прибавили к двум десяткам и получили шесть десятков, это неправильно, единицы надо прибавлять к единицам, получится 29, а не 65; в третьем примере 3 десятка прибавили к четырем единицам получили семь единиц, это неверно, десятки надо прибавлять к десяткам, получится 84, а не 57. После этого еще раз повторяется, что единицы прибавляют к единицам, а десятки к десяткам. Такую работу следует провести и при рассмотрении примеров на вычитание. С учащимися, которые часто допускают подобные ошибки, полезно вернуться к использованию счётного материала (пучки палочек и отдельные палочки, полоски с кружками и другие).

3. Ошибки в табличных случаях сложения и вычитания, когда они входят в качестве операций в более сложные примеры на сложение и вычитание.

Например: 37 + 28 = 64, 58 – 6 = 53 и т. п.

Предупреждению этих ошибок будет служить постоянное внимание к усвоению учениками табличных случаев сложения и вычитания, особенно случаям с переходом через десяток. Для устранения ошибок необходима индивидуальная работа с учениками, допускающими их.

4. Получение неверного результата вследствие пропуска операций, входящих в прием, или выполнения лишних операций.

Например: 64 + 30 = 97, 76 – 20 = 50. Эти ошибки, как правило, возникают в результате не внимательности учеников. Для их устранения необходимо научить и постоянно побуждать учеников выполнять проверку решения примеров. В данном случае используется проверка, основанная на связи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания. С этим способом проверки ученики знакомятся в концентре «Сотня». Они рассуждают: «Проверю решение примера 64 + 30 = 97: из суммы 97 вычту слагаемое 30 получится 67, а должно получиться первое слагаемое 64 значит, пример решен неверно. Решаю снова». Важно при этом, чтобы ученик сам нашел ошибку: «К четырем единицам я прибавил 3, но это 3 десятка, я их уже прибавил к десяткам». Вычитание проверяется путем сложения разности и вычитаемого, а также с помощью вычитания разности из уменьшаемого. Заметим, что способ проверки путем прикидки результата здесь не подходит: получили сумму 97 которая больше каждого из слагаемых 64 и 30, однако ответ неверен. Это не значит, что им не надо пользоваться, он часто помогает установить, что результат неверен. Пусть ученики сначала выполнят сравнение результата с компонентами, а затем обратятся к другому способу проверки.

5. Смешение действий сложения и вычитания (36 + 20 = 16, 46 – 7 = 53), запись или называние в результате одного из компонентов (14 + 8 = 14). Эти ошибки обусловлены недостаточным вниманием учеников.

Эффективным средством устранения таких ошибок на данном этапе обучения является умение и привычка учеников выполнять проверку решения примеров. Здесь ошибка сразу выявляется, если сравнить результат с компонентами, например, ученик выполнил сложение так: 36 + 20 = 16. Сравнив сумму (16) со слагаемыми (36 и 20), он сразу обнаруживает, что полученная сумма меньше каждого из слагаемых, значит, пример решен неверно.

Таким образом, выделяют ошибки внимания и памяти, научные, или теоретические, мыслительные ошибки. Правильная организация учителем работы по осмысленному запоминанию и продолжительному сохранению в памяти таблиц и правил, их своевременное повторение и использование в новых и новых условиях, то есть включение этих знаний в систему, постепенно снижает процент ошибок.