Вычислительные умения и навыки как компонент математической культуры младшего школьника

Главной целью математического образования является развитие математической культуры учащегося. Под «общей математической культурой» общества понимаются «достижения математики как науки и совокупность таких математических объектов, которые значимы и используются людьми постоянно, независимо от видов деятельности, которыми они занимаются» [32]. «Математическая культура» человека – это присвоенная и переработанная им часть общей математической культуры.

Математическая культура индивида является частью его общей культуры. В Большой Советской энциклопедии «культура» (от лат. cultura — возделывание, воспитание, образование, развитие, почитание) характеризуется как исторически определённый уровень развития общества и человека, выраженный в типах и формах организации жизни и деятельности людей, а также в создаваемых ими материальных и духовных ценностях. Понятие культуры употребляется для характеристики материального и духовного уровня развития определённых исторических эпох, общественно-экономических формаций, конкретных обществ, народностей и наций (например, античная культура, социалистическая культура, культура майя), а также специфических сфер деятельности или жизни (культура труда, художественная культура, культура быта). В более узком смысле термин «культура» относят только к сфере духовной жизни людей».

«Культура – это набор культурных средств и технологий деятельности, передающихся из поколения в поколение, развиваемых и изменяемых ими; основное условие и процесс включения людей в сообщество. Культура – это и картина мира, особенности мировосприятия и мирообъяснения» [31, с. 202].

Изучение математики является важной частью развития общей культуры. На учебных занятиях по математике учащийся повышает культуру мышления, учится логически рассуждать, правильно и точно формулировать мысли. В процессе математической деятельности у него развиваются умственные операции, гибкость мышления, любопытство и стремление познать новое.

Термин «математическая культура» появился в 1920-30-е годы. Многие учёные рассматривали данное понятие как систему знаний и умений. В 40-50-е годы XX века проблема формирования математической культуры рассматривалась в работах по теории поэтапного формирования умственных действий. Изучением математической культуры занимались не только математики, но и педагоги. Активное обсуждение вопросов, связанных с пониманием специфики математического языка, математического самообразования, математических знаний и умений началось в середине 1950-х годов в момент возникновения и распространения компьютерной техники.

Под «общей математической культурой» понимается «совокупность таких объектов, которые значимы и используются людьми постоянно, независимо от видов деятельности, которыми они занимались. Другими словами, математическая культура человека может быть определена как совокупность присвоенных им объектов общей математической культуры» [32]. В состав математической культуры входят следующие компоненты: вычислительная культура, алгоритмическая культура, логическая культура, культура построения чертежа и другие.

Формирование вычислительной культуры младшего школьника влияет на развитие его математической культуры. Различным аспектам проблемы формирования вычислительной культуры посвящены работы учёных: М.А. Бантовой, В.В. Давыдова, О.А. Ивашовой, Н.Б. Истоминой, В.Н. Медведской, С.С. Минаевой, П.Б. Ройтмана, Я.Ф. Чекмарева.

Рассматривая проблему совершенствования математического образования в контексте деятельностного, компетентностного и культурологического подходов О.А. Ивашова под «вычислительной культурой» понимает «такую полноценную учебную деятельность на межпредметном содержании, которая направлена на осмысленное овладение вычислительными знаниями и умениями, в том числе общекультурного характера (включая прогнозирование, моделирование, поиск рациональных решений, перенос в другие ситуации, анализ и интерпретацию результатов), которая развивает личность (учебно-познавательную мотивацию, мышление, опыт творческой, в том числе исследовательской деятельности) и организована с учетом необходимой обществу культуры и с применением современных ИКТ» [22, с. 158]. Вычислительная культура как деятельность направлена на получение не только предметных, но и личностных и метапредметных результатов.

По мнению Е.Ф. Ефимова, «содержание понятия вычислительная культура составляют умение правильно считать, безошибочное владение вычислительными умениями и навыками, обоснованный выбор рациональности выполнения действий и операций, приводящих к быстрому, возможно, нетривиальному вычислению значений выражений и решению задач, адекватная количественная оценка совокупностей объектов окружающего мира и происходящих в нем процессов, сформированность точного, лаконичного, аргументированного, безупречно логически выстроенного речевого и письменного сопровождения вычислений» [18, с. 61].

О.А. Ивашова выделяет следующие «характеристики вычислительной культуры как результата:

- наличие учебно-познавательной мотивации к изучению вычислительного содержания;

- умение видеть математические вопросы вычислительного характера целостно, устанавливать связи различного характера и уровня, в том числе внутрипредметные и межпредметные, связи с личностным опытом;

- умение ставить и исследовать проблемы, связанные с применением вычислительного аспекта математики, обобщать, абстрагировать;

- умение создавать и использовать математические модели при изучении количественных характеристик объектов; применять школьный математический язык, обосновывать свои суждения и действия;

- наличие осмысленных знаний об арифметических действиях, их связях;

- умение правильно, осознанно, рационально, красиво выполнять вычисления (с учетом современных средств обучения) и применять их в разных условиях;

- умение прогнозировать, проверять, интерпретировать полученные результаты;

- осознание ценности своих знаний и умений вычислительного содержания;

- знакомство с историей математики, с этимологией математических понятий, в том числе в ходе исследовательской и проектной деятельности» [22, с. 158].

Данные характеристики способствуют становлению школьника как субъекта учебной деятельности, дают возможность правильного понимания им учебного материала вычислительного характера, способствуют его переносу, обеспечивают готовность оценивать и интерпретировать полученные результаты.

Задачами формирования вычислительной культуры у младших школьников являются: обеспечить развитие математической речи у младшего школьника на начальных этапах обучения, познакомить с методами и приёмами устных и письменных вычислений, приучить составлять план решения учебных задач и самостоятельно выполнять этот план, научить контролировать и объективно оценивать свою деятельность.

Одним из показателей вычислительной культуры учащегося является уровень его вычислительной компетентности. В. Ф. Ефимов считает, что «вычислительную компетентность младшего школьника можно определить как черту его личности, проявляющуюся в индивидуальной готовности и умении выполнять вычислительные операции в различных ситуациях, в том числе и в нестандартных. Формировать вычислительную компетентность необходимо с I класса, так как именно этот возрастной рубеж является сенситивным периодом для формирования черт личности: ученик впитывает в себя знания, которые в дальнейшем становятся умениями, а затем – чертой личности, т.е. перерастают в компетентность. Если сенситивный период упустить, то сформировать вычислительную компетентность личности не удастся никогда» [18, с. 62].

Выделяются следующие условия развития вычислительной культуры младших школьников: целевой, смысловой, ценностный аспект; содержательные условия; организационно-деятельностный аспект.

Целевой, смысловой, ценностный аспект предполагает постоянную заботу о мотивации вычислительной деятельности, о понимании детьми своего продвижения в усвоении знаний, осознании их ценности; включение эмоциональной составляющей образования.

Содержательные условия включают отражение в вычислительной деятельности структуры математической деятельности: построение математической модели, работа с моделью, интерпретация полученных результатов работы с моделью. Эти условия конкретизируются так:

- целенаправленная работа по овладению школьным математическим языком (его алфавитом, синтаксисом, а главное, - семантикой);

- целенаправленное использование моделирования - это модели разных видов, переводов информации из одного вида в другой;

- установление содержательных связей между элементами знаний, установление связей с жизнью (получение и интерпретация моделей), с субъектным опытом ученика, внутрипредметных и межпредметных связей; обращение к истории математики, к этимологии математических терминов;

- использование задач вариативного, исследовательского характера [22, с. 159].

Организационно-деятельностный аспект включает в себя следующие условия:

- использование самостоятельной работы с применением уровневой и психофизиологической дифференциации (с учётом особенностей восприятия и переработки информации);

- постоянное включение детей в творческую деятельность на вычислительном материале, в том числе в исследовательскую и проектную;

- разумное использование ИКТ в образовательных, познавательных и развивающих целях вместе с традиционным методом обучения [22, с. 159].

Можно выделит следующие важные условия формирования вычислительной культуры у младших школьников:

­- усвоение младшими школьниками теоретических основ вычислительных приёмов, к которым можно отнести свойства арифметических действий, а также свойства изменения результатов действий при изменении компонентов;

- целенаправленная деятельность по отработке вычислительных умений и навыков;

- овладение младшими школьниками алгоритмом выполнения вычислений;

- приоритет активных методов обучения (использование проблемного, метода практической работы, объяснительно-иллюстративного метода, метода самостоятельных работ);

- рациональное использование средств наглядности;

- разнообразие заданий, т.е. применение вычислительных приёмов в разных условиях;

- овладение учащимися математической грамотности (грамотная математическая речь выражается в правильном употреблении математических терминов).

Формирование вычислительной культуры младшего школьника, с одной стороны, влияет на повышение его общей культуры, с другой стороны, зависит от неё. Поэтому очень важно на начальных этапах обучения развивать речь ребенка, формировать умения сравнивать, анализировать, обобщать и классифицировать, находить аналогию и т.д.

Таким образом, вычислительная культура связана с организацией учебной вычислительной деятельности, ориентированной на развитие личности в процессе осмысленного овладения её содержанием, с учётом социальных условий и характеристик необходимой обществу культуры [21]. Вычислительная культура младшего школьника предполагает высокий уровень развития вычислительных умений и навыков.

Под «вычислительным умением» понимается «развёрнутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и контролируется. Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приёма. Любой вычислительный приём можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством» [26, с. 165].

«Вычислительный навык» характеризуется высокой степенью овладения вычислительным приёмом. М.А. Бантова утверждает, что приобрести вычислительные навыки – это «значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро» [4, с.39].

Вычислительный навык рассматривается как один из видов учебных навыков, функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые выполняются посредством определенной системы операций. М. А. Бантова выделяет следующие показатели полноценного вычислительного навыка: правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм и прочность [4].

Рассмотрим краткую характеристику каждому показателю полноценного вычислительного навыка:

1) Правильность – способность правильно находить результат арифметического действия, т.е. правильно выбирать и выполнять операции, входящие в состав вычислительного приёма.

2) Осознанность – понимание того, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Осознанность проявляется в том, что учащийся в любой момент может объяснить, как он решил пример и почему можно так решать.

3) Рациональность – умение выбрать для данного случая более рациональный приём. Это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приёмы нахождения результата. Рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

4) Обобщенность – способность применить приём вычислений к большему числу случаев, т.е. перенос на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет приём, основа которого – одни и те же теоретические положения.

5) Автоматизм (свёрнутость) – выполнение операции в быстром темпе и в свернутом виде, но с готовностью дать объяснение выбранной системы операций.

6) Прочность – сохранение сформированных вычислительных навыков на длительное время [4].

Формирование вычислительных умений и навыков – сложный и длительный процесс, а эффективность, которого зависит от индивидуальных особенностей ребенка, а также от уровня его подготовки и способов организации вычислительной деятельности. Важно уделять внимание способам вычислительной деятельности младших школьников, которые будут способствовать не только формированию прочных вычислительных навыков, но и всестороннему развитию личности учащегося.

Высшей формой навыков являются те навыки человека, компоненты которых предварительно осознаются, осмысленно разбиваются и объединяются в системы, отвечающие обобщенным особенностям объективной ситуации формирования навыка. Именно переход от умения к знанию, а от него к навыку помогает сформировать навык гибким и осознанным.

М.А. Бантова выделяет следующие этапы формирования вычислительных навыков:

1) Подготовка к введению нового приёма.

На этом этапе обеспечивается готовность к усвоению вычислительного приёма: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается приём вычислений, а также овладеть каждой операцией, составляющей приём.

Например, можно считать, что учащиеся подготовлены к восприятию вычислительного приёма ±2, если они ознакомлены с конкретным смыслом действий сложения и вычитания, знают состав числа 2 и овладели вычислительными навыками сложения и вычитания вида ±1; готовностью к введению приёма внетабличного умножения (13 × 6) будет знание учащимся правила умножения суммы на число, знание десятичного состава чисел в пределах 100 и овладение навыками табличного умножения, навыками умноженная числа 10 на однозначные числа. Центральное звено при подготовке к введению нового приёма – овладение основными операциями.

2) Ознакомление с вычислительным приёмом.

На этом этапе усваивают суть приёма: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

Например, при введении приёма внетабличного умножения двузначного числа на однозначное оформляется запись:

13 × 6 = (10 + 3) × 6 = 10 × 6 + 3 × 6 = 60 + 18 = 78

Выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух. Сначала эти пояснения выполняется под руководством учителя, а потом самостоятельно учащимися.

3) Закрепление знаний приёма и выработка вычислительного навыка.

На этом этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющие приём, и быстро выполнить эти операции; то есть овладеть вычислительным навыком [4].

Изучение устных вычислений помогают лучшему усвоению приёмов письменных вычислений, т.к. они включают в себя элементы устных вычислений.

Приведём примеры типичных методических ошибок при работе по формированию вычислительных навыков:

1) Подача новых способов и приёмов вычислений производиться в готовом виде;

2) Использование таблиц сложения и умножения для выполнения однотипных тренировочных упражнений, а также их заучивание;

3) Частое применение однотипных заданий, что приводит к снижению интереса учащихся;

4) Резкий запрет применять наглядные модели (счёт «на пальцах» на первых порах позволяет организовать деятельностный подход к освоению вычислительных навыков);

5) Снижение доли устных вычислений (основная тяжесть повторения приходится на домашнюю работу школьника без должной последующей проверки на уроке);

6) Пренебрежение возможностями учебного материала на уроках для совершенствования вычислительных навыков;

7) Невнимание к организации усвоения учащимися алгоритмов выполнения вычислений, что является одним из условий формирования вычислительной культуры;

8) Нерациональное использование средств наглядности.

Реализация деятельностного, компетентностного и культурологического подходов является актуальным направлением модернизации системы математического образования. Вычислительная культура, как составляющая математической культуры, формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но её важные аспекты закладываются в первые годы обучения. С вычислительной культурой связана большая часть предметных результатов обучения математике. Вычислительная культура является главным фундаментом изучения других дисциплин.

Проблема и значимость формирования вычислительной культуры человека не уменьшается, особенно в век компьютерных технологий, т.к. понимание числовых характеристик реального мира имеет социальное значение. Однако современному педагогу необходимо учитывать вызовы времени: повсеместная доступность современных технических средств и их активное внедрение во все сферы жизни приводит к снижению навыков вычислений не только у детей, но и у взрослых.

Активная деятельность по формированию вычислительных умений и навыков является одним из условий высокого становления вычислительной культуры младших школьников. При проведении целенаправленной и систематической работы вычислительные умения превращаются в навыки. К.Д. Ушинский о роли и значении навыков в процессе обучения говорил: «Если бы человек не имел способности к навыку, то не мог бы продвинуться ни на одну ступень в своем развитии, задерживаемый беспрестанно бесчисленными трудностями, которые можно преодолеть только навыком, освободив ум и волю для новых работ и для новых побед. Вот почему - то воспитание, которое упустило из виду сообщение воспитанникам полезных навыков и заботилось об их умственном развитии, лишило бы это самое развитие его сильнейшей опоры» [48].

Таким образом, вычислительная культура младшего школьника, являясь важной частью его математической культуры, предполагает высокий уровень развития вычислительных умений и навыков, наличие учебно-познавательной мотивации к изучению вычислительного содержания, умение ставить и исследовать проблемы вычислительного характера, умение прогнозировать и интерпретировать полученные результаты, осознание ценности своих вычислительных умений.